여름방학이 시작되었습니다. 이미 많은 학생들이 학원이나 인강 등으로 ‘미분’을 배우고 있습니다. 공통과목에 포함되기 때문에 문이과 학생 모두 다뤄야 하고, 고난도 문항과 킬러 문항에 자주 등장하는 매우 중요한 단원입니다. 또한 대학에 가서도 지속적으로 사용해야 하는 주요 수학 도구이지요. 이렇게 중요한 미분에 대해 여러분은 얼마나 명확히 알고 있나요? 오늘 한 번 미분 개념에 대해 정리해 봅시다.

미분을 배운 학생에게 ‘미분이 뭔가요?’라고 물으면, 이외로 자신 있게 답하지 못하는 경우가 많습니다. 사전적으로 ‘미분’은 잘게 나눈다는 뜻으로써, 함수의 아주 작은 변화 값을 나타내는 무한소를 말합니다. 그러나 학생들 입장에서 더욱 이해하기 쉽게 미분을 설명하자면, ‘함수 위 한 점에서의 순간 기울기’를 구하는 행위인 것이지요.

그리고 다음 질문을 해보겠습니다. ‘미분계수와 도함수가 각각 뭔가요?’ 별거 아니지만, 미분을 처음 시작한 학생들에게는 꽤 헷갈릴 수 있는 질문입니다. ‘미분계수’는 함수 f(x)의 한 지점 a에서의 기울기, 즉 x=a에서의 접선의 기울기입니다. 미분계수라 부르고, f ′(a)라고 표기합니다. 미분계수의 정의는 다음과 같습니다.

우리가 반드시 이해하고 기억해야 할 수식이지요. 하지만 위의 미분계수 정의는 조금 귀찮은 면이 있습니다. f ′(-10), f ′(2), f ′(25) 등 여러 개의 미분계수를 구하려면 비슷한 연산을 여러 번 반복해야 하기 때문입니다. ‘아, 그럼 f ′(x)라는 함수를 만들어 볼까? f ′(x)가 있으면 숫자만 대입해도 미분계수가 나오잖아?’ 라는 생각을 수학자들이 했고, 그래서 f(x)에서 f ′(x)를 도출해 냈습니다. 원시함수에서 도출한 함수라 하여 ‘도함수’라고 부르는 것이죠. 즉 도함수는 미분계수를 쉽게 구하기 위해 도출해낸 함수입니다. 수식은 다음과 같죠.

일일이 미분계수를 계산하는 것보단 낫지만, 도함수도 여전히 귀찮은 면이 있습니다. 함수가 복잡해지면 위 계산도 번거로운 일이 되기 때문이죠. 다음의 함수를 확인해 봅시다.

암산으로도 가능하죠? 원래는 ①번식을 이용해 구해야 하지만, 다항함수의 미분 규칙성을 통해 간단히 암산으로도 도출이 가능한 것입니다. 우리는 이 방법을 ‘다항함수의 미분법’이라 부르죠. 그런데 이런 미분을 왜 중요하게 다루는 걸까요? 미분은 대체 어디에 쓰이고 있을까요?

얼마 전 미국 스페이스 X 사가 로켓 추진체 회수에 성공했습니다. 로켓 추진체 회수는 단순히 무거운 로켓 덩어리를 주워오는 일이 아닙니다. 음속으로 떨어지는 로켓을 정밀하게 컨트롤하여, 수직으로 거꾸로 세워 지상에 안전하게 착지시키는 정밀한 작업입니다. 어떻게 거대한 추진체를 정확한 방향에 수직으로 거꾸로 착륙시킬 수 있는 것일까요?

우선, 로켓 추진체의 하강 속도를 연속적으로 감소시켜 0에 도달하도록 하는 초고속 속도 제어가 필요합니다. 그리고 착륙 시 로켓의 방향과 수직 자세 유지를 위해 로켓의 회전 속도와 움직임을 정밀하게 측정하고 제어해야 합니다. 이 모든 일은 로켓의 매 순간의 속도와 가속도를 미분으로 정확히 파악했기에 가능한 것입니다. 미분 탄생으로 속도와 가속도의 정의가 가능했고, 지금도 인류의 미래를 계속해서 개척해 나가고 있는 것입니다.

자, 이제 미분에 대해 좀 알게 되었나요? 물론 오늘 다룬 내용은 미분의 가장 기초 부분이라 그 뒤에 이어지는 ‘여러 가지 미분 활용’에는 더 신경을 집중해야 합니다. 혹시 지금보다 더 탄탄하고 정밀하게 공부할 수 있는 도움이 필요한가요? 고민하지 마세요. 나만을 위해 준비된 1:1 학습 전문가 이지수능교육이 언제나 여러분 곁에 있습니다!