안녕하세요 여러분 저는 차의과학대학교 약학과에 2학년으로 재학 중인 잉코 아이입니다! 다들 새해는 잘 보내셨나요? 수험생 시절 때는 정말 1년이라는 시간이 정신없이 금방 지나가게 되는 것 같습니다. 그러다 보니 괜히 조급한 마음만 생겨 과목에 잘 집중이 안 되기도 하는데요.  그중에서도 수학은 항상 수험생들의 가장 큰 골칫거리 중 하나죠. 그래서 오늘은 이 ‘고등수학’ 교과과정을 공부할 때 가지면 좋은 사고방식에 대해 얘기해보고 이를 몇 개 문제를 예시로 들어 직접 적용해 볼까 합니다. 그럼 칼럼 시작하겠습니다.

| 체계화된 방법

고등학교 때의 저는 수학을 잘하는 편이었던 것 같습니다. 내신에서나 모의고사에서나, 1등급을 놓친 적은 없었으니까요. 이후 이런 경험을 살려 대학교에 와서 수학 과외를 여러 차례 해보다 보니 나름대로 수학과 관련한 가치관과 사고방식을 정립화할 수 있었습니다.

아마 대부분의 학생들은 ‘그냥 풀리니까 풀리는 거지~’라는 식으로 생각할지도 모릅니다. 저 또한 그랬으니까요. 하지만 수학은 그런 방식으로 푸는 게 아니라고 생각합니다. 조금 더 체계화된 방법을 사용해 보다 똑똑하게 풀어야 하며, 사실 모두가 이 방식을 기본적으로 어느 정도는 사용하고 있습니다.

다만, 의식하지 않을 뿐인 거죠. 그러다 보니 이 방법을 구체적으로 몰라 정작 어려운 문제가 나왔을 때는 사용할 수가 없고, 결국 틀리곤 합니다. 

그렇다면 대체 그 체계화된 방법이라는 게 과연 뭘까요? 말은 거창하게 했지만 사실 너무나 당연한 얘기일 겁니다. 중학생 시절 전 한 수학 학원을 다녔고 거기에선 서술형 문제들에 대비하기 위해 서술형 시험지가 크게 세 파트로 나눠 적게끔 구성되어 있었습니다.

| Answer, Clue, Solution

그 세 파트는 Answer, Clue, Solution이었습니다. Answer에는 문제에서 최종적으로 구하고자 하는 내용, clue에는 제시된 조건, 마지막 solution에는 풀이를 적으면 됩니다.

그 당시에는 그게 귀찮고 그냥 풀이만 쓰면 되는거지 왜 그럴까 의구심이 들었는데 사실 그게 수학을 푸는 데에 있어서 가장 중요하다는 것을 대학생이 되어서야 깨달은 것 같습니다. 그리고 바로 이게 제가 제일 중요하게 생각하는 첫 번째 사고방식입니다.

a, c, s로 나눠 생각하는 것. 비단 수학 뿐만 아니라 모든 문제는 이 방식대로 풀리게끔 설계되어 있습니다. 항상 구하고자 하는 대상을 먼저 파악하고 그를 위해 제시된 조건들을 확인하고 이를 ‘전부’ 사용해야 풀리게 됩니다.

| 조건에 대한 이해

여기에서 두 번째로 가져야 하는 사고방식은 ‘조건’에 대한 이해입니다. 항상 과다하게 주지도 적게 주지도 않는다는 걸 기억해야 합니다. 보통은 과다하게 제시하는 경우는 당연히 보기 어려울 것이고, 적게 준다고 생각이 든다면 숨겨진 조건을 찾으라고 하는 걸 알아차려야 합니다.

그렇다면 전부 찾았는지는 어떻게 하면 알 수 있을까요? 가장 기본적으로는 개수와 변수의 개수가 항상 일치한다는 점을 이용하면 됩니다.

중학교 때 x, y에 대한 연립 방정식을 풀 때 수식은 보통 2개가 제시됩니다. 즉, 변수가 x, y로 2개이기에 조건도 2개가 제시된 겁니다. 다시 말해, 문제는 언제나 조건을 ‘전부’ 사용했을 때만 풀리게끔 설계되어 있습니다.

두 사고방식 모두 너무나도 당연한 얘기들이지만 어려운 문제일수록 이 사고방식을 까먹는 경우가 대부분입니다. 어려울수록 침착하게 최종적으로 어떤 걸 구해야 하는지 먼저 파악하고 조건들을 확인한 뒤 하나하나 전부 사용하면 됩니다. 

또한 그 과정에서 어떤 조건을 아직 안 사용했는지를 확인함으로써 적어도 당장에 집중해서 해석해야 하는 것을 알아내어 풀이의 방향성을 명확히 잡을 수 있을 거라 생각합니다. 

| 교과과정에서 벗어나지 않는다

하지만, 이렇게 계속하다 보면 이제 어떤 조건을 해석해야 풀리는지 등에 대한 방향성은 잡을 수 있으나 곧 해석이 어려운 조건을 만나게 될 수도 있습니다. 그리고 여기에서 세 번째 사고방식이 필요합니다. 

‘문제는 항상 교과과정에서 벗어나지 않습니다.’ 내신 시험이라면 시험 범위 내의 문항들만 나올 것이며 수능도 똑같습니다. 우리가 킬러 문제라고 부르는 것도 전부 떼어놓고 보면 결국엔 우리가 배웠던 기본원리들에 근거한 문항들입니다. 다만 그 기본원리들에 대한 보다 깊은 이해를 요구했을 뿐인 겁니다.

어찌 되었든 교육과정 내의 개념 중 하나를 사용한 문제일 것이기에 천천히 분석하며 배운 개념 중 어떤 개념과 관련된 것인지를 추측하면 됩니다.

예를 들어, ‘적어도’라는 표현이 쓰인다면 평균값 정리를 의심해 볼 수 있는 것처럼요. 저희가 수학을 공부하는 이유는 바로 이 세 번째 사고방식 때문입니다. 단순히 외우는 것이 아니라 개념에 대한 깊은 이해를 하고 여러 형태의 조건들을 경험해 보는 데에 시간을 투자하는 것이죠.

이렇게까지 준비가 되었다면 이제는 스킬, 조건을 사용하는 방법들을 익힐 차례입니다. 제일 자주 쓰이는 스킬은 ‘케이스 분류 기법’인데요.

여러분들은 절댓값 문제를 풀 때 보통 어떻게 푸시나요? 여러 가지 방법이 있겠지만 보통은 범위를 지정해 부호를 정함으로써 절댓값을 없애주는 방식으로 풀이합니다.

‘범위를 나누는 것’, 이 역시 복잡한 문항을 여러 케이스로 분류해 보다 간단한 상황으로 변화시키는 케이스 분류 기법입니다. 케이스를 분류함으로써 애매모호한 경우를 보다 명확히 지정할 수 있는 것입니다. 이는 직접 문항을 가지고 보여드리겠습니다.

이 경우 우선 최종적으로 함수를 하나 정확히 구하는 것이 아니라, 전체 경우의 수를 구하는 문제이고 그에 대한 조건이 (가), (나)로 2개 나와있습니다.

하지만 계속 조건을 보다 보면 결국에 저희가 주요하게 해석해야 하는(정보를 많이 담고 있는) 것은 (가)라는 걸 알 수 있을 겁니다. 그리고 이 (가)를 해석하는 데에 케이스 분류 기법을 사용합니다.

케이스 분류를 할 땐 항상 분류 기준을 설정해야 하기에 여기선 f(4) 값을 기준으로 두고 케이스를 나눠 사진과 같이 체계적으로 풀이할 수 있을 것입니다.

수학 문제를 그냥 푸는 것과 잘 푸는 것은 엄연히 다르다고 생각합니다. 오늘 긴 칼럼이었지만 글 잘 읽어보시면서 위의 사고방식들을 키워나가며 보다 체계적으로 접근할 수 있게 되시면 좋겠습니다. 항상 응원하겠습니다. 감사합니다!